\newcommand{\ig}[1]{}

\documentclass{article}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[linesnumbered,ruled,vlined]{algorithm2e}
\usepackage{amssymb,amsmath}

\begin{document}

\title{Two Sudoku Rules in Conjunctive Normal Form}
\author{Daniel Geschwender, Trieu Hung Tran, and Berthe Y. Choueiry}
\date{\today}
\maketitle

This document presents the model of two rules of the Sudoku puzzle in CNF, first in a compact, semi-expandaded, and fully expanded manner.
\vspace{2cm}


\noindent{\large\bf {\Large Rule:} Every number is in every row}\\

\begin{math}
\begin{array}{lcr}
\bigwedge\limits_{i=1}^{9} \bigwedge\limits_{n=1}^9 \bigvee\limits_{j=1}^9
p(i,j,n) = & (p(1,1,1)\vee p(1,2,1)\vee \ldots\vee p(1,9,1)) &\wedge\\
 & (p(1,1,2)\vee p(1,2,2)\vee \ldots\vee p(1,9,2)) &\wedge\\
 & \ldots &\wedge\\
 & (p(i,1,n)\vee p(i,2,n)\vee \ldots\vee p(i,9,n))&\wedge\\
 & \ldots & \wedge\\
 & (p(9,1,9)\vee p(9,2,9)\vee \ldots\vee p(9,9,9))\\
\end{array}
\end{math}
\newpage
$\bigwedge\limits_{i=1}^{9} \bigwedge\limits_{n=1}^9 \bigvee\limits_{j=1}^9 
p(i,j,n)=$
\begin{eqnarray*}
(p(1,1,1)\vee p(1,2,1)\vee p(1,3,1)\vee p(1,4,1)\vee p(1,5,1)\vee p(1,6,1)\vee p(1,7,1)\vee p(1,8,1)\vee p(1,9,1))\\
\wedge(p(1,1,2)\vee p(1,2,2)\vee p(1,3,2)\vee p(1,4,2)\vee p(1,5,2)\vee p(1,6,2)\vee p(1,7,2)\vee p(1,8,2)\vee p(1,9,2))\\
\wedge(p(1,1,3)\vee p(1,2,3)\vee p(1,3,3)\vee p(1,4,3)\vee p(1,5,3)\vee p(1,6,3)\vee p(1,7,3)\vee p(1,8,3)\vee p(1,9,3))\\
\wedge(p(1,1,4)\vee p(1,2,4)\vee p(1,3,4)\vee p(1,4,4)\vee p(1,5,4)\vee p(1,6,4)\vee p(1,7,4)\vee p(1,8,4)\vee p(1,9,4))\\
\wedge(p(1,1,5)\vee p(1,2,5)\vee p(1,3,5)\vee p(1,4,5)\vee p(1,5,5)\vee p(1,6,5)\vee p(1,7,5)\vee p(1,8,5)\vee p(1,9,5))\\
\wedge(p(1,1,6)\vee p(1,2,6)\vee p(1,3,6)\vee p(1,4,6)\vee p(1,5,6)\vee p(1,6,6)\vee p(1,7,6)\vee p(1,8,6)\vee p(1,9,6))\\
\wedge(p(1,1,7)\vee p(1,2,7)\vee p(1,3,7)\vee p(1,4,7)\vee p(1,5,7)\vee p(1,6,7)\vee p(1,7,7)\vee p(1,8,7)\vee p(1,9,7))\\
\wedge(p(1,1,8)\vee p(1,2,8)\vee p(1,3,8)\vee p(1,4,8)\vee p(1,5,8)\vee p(1,6,8)\vee p(1,7,8)\vee p(1,8,8)\vee p(1,9,8))\\
\wedge(p(1,1,9)\vee p(1,2,9)\vee p(1,3,9)\vee p(1,4,9)\vee p(1,5,9)\vee p(1,6,9)\vee p(1,7,9)\vee p(1,8,9)\vee p(1,9,9))\\
\wedge(p(2,1,1)\vee p(2,2,1)\vee p(2,3,1)\vee p(2,4,1)\vee p(2,5,1)\vee p(2,6,1)\vee p(2,7,1)\vee p(2,8,1)\vee p(2,9,1))\\
\wedge(p(2,1,2)\vee p(2,2,2)\vee p(2,3,2)\vee p(2,4,2)\vee p(2,5,2)\vee p(2,6,2)\vee p(2,7,2)\vee p(2,8,2)\vee p(2,9,2))\\
\wedge(p(2,1,3)\vee p(2,2,3)\vee p(2,3,3)\vee p(2,4,3)\vee p(2,5,3)\vee p(2,6,3)\vee p(2,7,3)\vee p(2,8,3)\vee p(2,9,3))\\
\wedge(p(2,1,4)\vee p(2,2,4)\vee p(2,3,4)\vee p(2,4,4)\vee p(2,5,4)\vee p(2,6,4)\vee p(2,7,4)\vee p(2,8,4)\vee p(2,9,4))\\
\wedge(p(2,1,5)\vee p(2,2,5)\vee p(2,3,5)\vee p(2,4,5)\vee p(2,5,5)\vee p(2,6,5)\vee p(2,7,5)\vee p(2,8,5)\vee p(2,9,5))\\
\wedge(p(2,1,6)\vee p(2,2,6)\vee p(2,3,6)\vee p(2,4,6)\vee p(2,5,6)\vee p(2,6,6)\vee p(2,7,6)\vee p(2,8,6)\vee p(2,9,6))\\
\wedge(p(2,1,7)\vee p(2,2,7)\vee p(2,3,7)\vee p(2,4,7)\vee p(2,5,7)\vee p(2,6,7)\vee p(2,7,7)\vee p(2,8,7)\vee p(2,9,7))\\
\wedge(p(2,1,8)\vee p(2,2,8)\vee p(2,3,8)\vee p(2,4,8)\vee p(2,5,8)\vee p(2,6,8)\vee p(2,7,8)\vee p(2,8,8)\vee p(2,9,8))\\
\wedge(p(2,1,9)\vee p(2,2,9)\vee p(2,3,9)\vee p(2,4,9)\vee p(2,5,9)\vee p(2,6,9)\vee p(2,7,9)\vee p(2,8,9)\vee p(2,9,9))\\
\wedge(p(3,1,1)\vee p(3,2,1)\vee p(3,3,1)\vee p(3,4,1)\vee p(3,5,1)\vee p(3,6,1)\vee p(3,7,1)\vee p(3,8,1)\vee p(3,9,1))\\
\wedge(p(3,1,2)\vee p(3,2,2)\vee p(3,3,2)\vee p(3,4,2)\vee p(3,5,2)\vee p(3,6,2)\vee p(3,7,2)\vee p(3,8,2)\vee p(3,9,2))\\
\wedge(p(3,1,3)\vee p(3,2,3)\vee p(3,3,3)\vee p(3,4,3)\vee p(3,5,3)\vee p(3,6,3)\vee p(3,7,3)\vee p(3,8,3)\vee p(3,9,3))\\
\wedge(p(3,1,4)\vee p(3,2,4)\vee p(3,3,4)\vee p(3,4,4)\vee p(3,5,4)\vee p(3,6,4)\vee p(3,7,4)\vee p(3,8,4)\vee p(3,9,4))\\
\wedge(p(3,1,5)\vee p(3,2,5)\vee p(3,3,5)\vee p(3,4,5)\vee p(3,5,5)\vee p(3,6,5)\vee p(3,7,5)\vee p(3,8,5)\vee p(3,9,5))\\
\wedge(p(3,1,6)\vee p(3,2,6)\vee p(3,3,6)\vee p(3,4,6)\vee p(3,5,6)\vee p(3,6,6)\vee p(3,7,6)\vee p(3,8,6)\vee p(3,9,6))\\
\wedge(p(3,1,7)\vee p(3,2,7)\vee p(3,3,7)\vee p(3,4,7)\vee p(3,5,7)\vee p(3,6,7)\vee p(3,7,7)\vee p(3,8,7)\vee p(3,9,7))\\
\wedge(p(3,1,8)\vee p(3,2,8)\vee p(3,3,8)\vee p(3,4,8)\vee p(3,5,8)\vee p(3,6,8)\vee p(3,7,8)\vee p(3,8,8)\vee p(3,9,8))\\
\wedge(p(3,1,9)\vee p(3,2,9)\vee p(3,3,9)\vee p(3,4,9)\vee p(3,5,9)\vee p(3,6,9)\vee p(3,7,9)\vee p(3,8,9)\vee p(3,9,9))\\
\wedge(p(4,1,1)\vee p(4,2,1)\vee p(4,3,1)\vee p(4,4,1)\vee p(4,5,1)\vee p(4,6,1)\vee p(4,7,1)\vee p(4,8,1)\vee p(4,9,1))\\
\wedge(p(4,1,2)\vee p(4,2,2)\vee p(4,3,2)\vee p(4,4,2)\vee p(4,5,2)\vee p(4,6,2)\vee p(4,7,2)\vee p(4,8,2)\vee p(4,9,2))\\
\wedge(p(4,1,3)\vee p(4,2,3)\vee p(4,3,3)\vee p(4,4,3)\vee p(4,5,3)\vee p(4,6,3)\vee p(4,7,3)\vee p(4,8,3)\vee p(4,9,3))\\
\wedge(p(4,1,4)\vee p(4,2,4)\vee p(4,3,4)\vee p(4,4,4)\vee p(4,5,4)\vee p(4,6,4)\vee p(4,7,4)\vee p(4,8,4)\vee p(4,9,4))\\
\wedge(p(4,1,5)\vee p(4,2,5)\vee p(4,3,5)\vee p(4,4,5)\vee p(4,5,5)\vee p(4,6,5)\vee p(4,7,5)\vee p(4,8,5)\vee p(4,9,5))\\
\wedge(p(4,1,6)\vee p(4,2,6)\vee p(4,3,6)\vee p(4,4,6)\vee p(4,5,6)\vee p(4,6,6)\vee p(4,7,6)\vee p(4,8,6)\vee p(4,9,6))\\
\wedge(p(4,1,7)\vee p(4,2,7)\vee p(4,3,7)\vee p(4,4,7)\vee p(4,5,7)\vee p(4,6,7)\vee p(4,7,7)\vee p(4,8,7)\vee p(4,9,7))\\
\wedge(p(4,1,8)\vee p(4,2,8)\vee p(4,3,8)\vee p(4,4,8)\vee p(4,5,8)\vee p(4,6,8)\vee p(4,7,8)\vee p(4,8,8)\vee p(4,9,8))\\
\wedge(p(4,1,9)\vee p(4,2,9)\vee p(4,3,9)\vee p(4,4,9)\vee p(4,5,9)\vee p(4,6,9)\vee p(4,7,9)\vee p(4,8,9)\vee p(4,9,9))\\
 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\wedge(p(5,1,1)\vee p(5,2,1)\vee p(5,3,1)\vee p(5,4,1)\vee p(5,5,1)\vee p(5,6,1)\vee p(5,7,1)\vee p(5,8,1)\vee p(5,9,1))\\
\wedge(p(5,1,2)\vee p(5,2,2)\vee p(5,3,2)\vee p(5,4,2)\vee p(5,5,2)\vee p(5,6,2)\vee p(5,7,2)\vee p(5,8,2)\vee p(5,9,2))\\
\wedge(p(5,1,3)\vee p(5,2,3)\vee p(5,3,3)\vee p(5,4,3)\vee p(5,5,3)\vee p(5,6,3)\vee p(5,7,3)\vee p(5,8,3)\vee p(5,9,3))\\
\wedge(p(5,1,4)\vee p(5,2,4)\vee p(5,3,4)\vee p(5,4,4)\vee p(5,5,4)\vee p(5,6,4)\vee p(5,7,4)\vee p(5,8,4)\vee p(5,9,4))\\
\wedge(p(5,1,5)\vee p(5,2,5)\vee p(5,3,5)\vee p(5,4,5)\vee p(5,5,5)\vee p(5,6,5)\vee p(5,7,5)\vee p(5,8,5)\vee p(5,9,5))\\
\wedge(p(5,1,6)\vee p(5,2,6)\vee p(5,3,6)\vee p(5,4,6)\vee p(5,5,6)\vee p(5,6,6)\vee p(5,7,6)\vee p(5,8,6)\vee p(5,9,6))\\
\wedge(p(5,1,7)\vee p(5,2,7)\vee p(5,3,7)\vee p(5,4,7)\vee p(5,5,7)\vee p(5,6,7)\vee p(5,7,7)\vee p(5,8,7)\vee p(5,9,7))\\
\wedge(p(5,1,8)\vee p(5,2,8)\vee p(5,3,8)\vee p(5,4,8)\vee p(5,5,8)\vee p(5,6,8)\vee p(5,7,8)\vee p(5,8,8)\vee p(5,9,8))\\
\wedge(p(5,1,9)\vee p(5,2,9)\vee p(5,3,9)\vee p(5,4,9)\vee p(5,5,9)\vee p(5,6,9)\vee p(5,7,9)\vee p(5,8,9)\vee p(5,9,9))\\
\wedge(p(6,1,1)\vee p(6,2,1)\vee p(6,3,1)\vee p(6,4,1)\vee p(6,5,1)\vee p(6,6,1)\vee p(6,7,1)\vee p(6,8,1)\vee p(6,9,1))\\
\wedge(p(6,1,2)\vee p(6,2,2)\vee p(6,3,2)\vee p(6,4,2)\vee p(6,5,2)\vee p(6,6,2)\vee p(6,7,2)\vee p(6,8,2)\vee p(6,9,2))\\
\wedge(p(6,1,3)\vee p(6,2,3)\vee p(6,3,3)\vee p(6,4,3)\vee p(6,5,3)\vee p(6,6,3)\vee p(6,7,3)\vee p(6,8,3)\vee p(6,9,3))\\
\wedge(p(6,1,4)\vee p(6,2,4)\vee p(6,3,4)\vee p(6,4,4)\vee p(6,5,4)\vee p(6,6,4)\vee p(6,7,4)\vee p(6,8,4)\vee p(6,9,4))\\
\wedge(p(6,1,5)\vee p(6,2,5)\vee p(6,3,5)\vee p(6,4,5)\vee p(6,5,5)\vee p(6,6,5)\vee p(6,7,5)\vee p(6,8,5)\vee p(6,9,5))\\
\wedge(p(6,1,6)\vee p(6,2,6)\vee p(6,3,6)\vee p(6,4,6)\vee p(6,5,6)\vee p(6,6,6)\vee p(6,7,6)\vee p(6,8,6)\vee p(6,9,6))\\
\wedge(p(6,1,7)\vee p(6,2,7)\vee p(6,3,7)\vee p(6,4,7)\vee p(6,5,7)\vee p(6,6,7)\vee p(6,7,7)\vee p(6,8,7)\vee p(6,9,7))\\
\wedge(p(6,1,8)\vee p(6,2,8)\vee p(6,3,8)\vee p(6,4,8)\vee p(6,5,8)\vee p(6,6,8)\vee p(6,7,8)\vee p(6,8,8)\vee p(6,9,8))\\
\wedge(p(6,1,9)\vee p(6,2,9)\vee p(6,3,9)\vee p(6,4,9)\vee p(6,5,9)\vee p(6,6,9)\vee p(6,7,9)\vee p(6,8,9)\vee p(6,9,9))\\
\wedge(p(7,1,1)\vee p(7,2,1)\vee p(7,3,1)\vee p(7,4,1)\vee p(7,5,1)\vee p(7,6,1)\vee p(7,7,1)\vee p(7,8,1)\vee p(7,9,1))\\
\wedge(p(7,1,2)\vee p(7,2,2)\vee p(7,3,2)\vee p(7,4,2)\vee p(7,5,2)\vee p(7,6,2)\vee p(7,7,2)\vee p(7,8,2)\vee p(7,9,2))\\
\wedge(p(7,1,3)\vee p(7,2,3)\vee p(7,3,3)\vee p(7,4,3)\vee p(7,5,3)\vee p(7,6,3)\vee p(7,7,3)\vee p(7,8,3)\vee p(7,9,3))\\
\wedge(p(7,1,4)\vee p(7,2,4)\vee p(7,3,4)\vee p(7,4,4)\vee p(7,5,4)\vee p(7,6,4)\vee p(7,7,4)\vee p(7,8,4)\vee p(7,9,4))\\
\wedge(p(7,1,5)\vee p(7,2,5)\vee p(7,3,5)\vee p(7,4,5)\vee p(7,5,5)\vee p(7,6,5)\vee p(7,7,5)\vee p(7,8,5)\vee p(7,9,5))\\
\wedge(p(7,1,6)\vee p(7,2,6)\vee p(7,3,6)\vee p(7,4,6)\vee p(7,5,6)\vee p(7,6,6)\vee p(7,7,6)\vee p(7,8,6)\vee p(7,9,6))\\
\wedge(p(7,1,7)\vee p(7,2,7)\vee p(7,3,7)\vee p(7,4,7)\vee p(7,5,7)\vee p(7,6,7)\vee p(7,7,7)\vee p(7,8,7)\vee p(7,9,7))\\
\wedge(p(7,1,8)\vee p(7,2,8)\vee p(7,3,8)\vee p(7,4,8)\vee p(7,5,8)\vee p(7,6,8)\vee p(7,7,8)\vee p(7,8,8)\vee p(7,9,8))\\
\wedge(p(7,1,9)\vee p(7,2,9)\vee p(7,3,9)\vee p(7,4,9)\vee p(7,5,9)\vee p(7,6,9)\vee p(7,7,9)\vee p(7,8,9)\vee p(7,9,9))\\
\wedge(p(8,1,1)\vee p(8,2,1)\vee p(8,3,1)\vee p(8,4,1)\vee p(8,5,1)\vee p(8,6,1)\vee p(8,7,1)\vee p(8,8,1)\vee p(8,9,1))\\
\wedge(p(8,1,2)\vee p(8,2,2)\vee p(8,3,2)\vee p(8,4,2)\vee p(8,5,2)\vee p(8,6,2)\vee p(8,7,2)\vee p(8,8,2)\vee p(8,9,2))\\
\wedge(p(8,1,3)\vee p(8,2,3)\vee p(8,3,3)\vee p(8,4,3)\vee p(8,5,3)\vee p(8,6,3)\vee p(8,7,3)\vee p(8,8,3)\vee p(8,9,3))\\
\wedge(p(8,1,4)\vee p(8,2,4)\vee p(8,3,4)\vee p(8,4,4)\vee p(8,5,4)\vee p(8,6,4)\vee p(8,7,4)\vee p(8,8,4)\vee p(8,9,4))\\
\wedge(p(8,1,5)\vee p(8,2,5)\vee p(8,3,5)\vee p(8,4,5)\vee p(8,5,5)\vee p(8,6,5)\vee p(8,7,5)\vee p(8,8,5)\vee p(8,9,5))\\
\wedge(p(8,1,6)\vee p(8,2,6)\vee p(8,3,6)\vee p(8,4,6)\vee p(8,5,6)\vee p(8,6,6)\vee p(8,7,6)\vee p(8,8,6)\vee p(8,9,6))\\
\wedge(p(8,1,7)\vee p(8,2,7)\vee p(8,3,7)\vee p(8,4,7)\vee p(8,5,7)\vee p(8,6,7)\vee p(8,7,7)\vee p(8,8,7)\vee p(8,9,7))\\
\wedge(p(8,1,8)\vee p(8,2,8)\vee p(8,3,8)\vee p(8,4,8)\vee p(8,5,8)\vee p(8,6,8)\vee p(8,7,8)\vee p(8,8,8)\vee p(8,9,8))\\
\wedge(p(8,1,9)\vee p(8,2,9)\vee p(8,3,9)\vee p(8,4,9)\vee p(8,5,9)\vee p(8,6,9)\vee p(8,7,9)\vee p(8,8,9)\vee p(8,9,9))\\
 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\wedge(p(9,1,1)\vee p(9,2,1)\vee p(9,3,1)\vee p(9,4,1)\vee p(9,5,1)\vee p(9,6,1)\vee p(9,7,1)\vee p(9,8,1)\vee p(9,9,1))\\
\wedge(p(9,1,2)\vee p(9,2,2)\vee p(9,3,2)\vee p(9,4,2)\vee p(9,5,2)\vee p(9,6,2)\vee p(9,7,2)\vee p(9,8,2)\vee p(9,9,2))\\
\wedge(p(9,1,3)\vee p(9,2,3)\vee p(9,3,3)\vee p(9,4,3)\vee p(9,5,3)\vee p(9,6,3)\vee p(9,7,3)\vee p(9,8,3)\vee p(9,9,3))\\
\wedge(p(9,1,4)\vee p(9,2,4)\vee p(9,3,4)\vee p(9,4,4)\vee p(9,5,4)\vee p(9,6,4)\vee p(9,7,4)\vee p(9,8,4)\vee p(9,9,4))\\
\wedge(p(9,1,5)\vee p(9,2,5)\vee p(9,3,5)\vee p(9,4,5)\vee p(9,5,5)\vee p(9,6,5)\vee p(9,7,5)\vee p(9,8,5)\vee p(9,9,5))\\
\wedge(p(9,1,6)\vee p(9,2,6)\vee p(9,3,6)\vee p(9,4,6)\vee p(9,5,6)\vee p(9,6,6)\vee p(9,7,6)\vee p(9,8,6)\vee p(9,9,6))\\
\wedge(p(9,1,7)\vee p(9,2,7)\vee p(9,3,7)\vee p(9,4,7)\vee p(9,5,7)\vee p(9,6,7)\vee p(9,7,7)\vee p(9,8,7)\vee p(9,9,7))\\
\wedge(p(9,1,8)\vee p(9,2,8)\vee p(9,3,8)\vee p(9,4,8)\vee p(9,5,8)\vee p(9,6,8)\vee p(9,7,8)\vee p(9,8,8)\vee p(9,9,8))\\
\wedge(p(9,1,9)\vee p(9,2,9)\vee p(9,3,9)\vee p(9,4,9)\vee p(9,5,9)\vee p(9,6,9)\vee p(9,7,9)\vee p(9,8,9)\vee p(9,9,9))\\
 \end{eqnarray*}





\newpage
\noindent{\large\bf {\Large Rule:} Every cell must take a number in $\{1,2,\ldots,9\}$}\\
\begin{math}
\begin{array}{lcr}
\bigwedge\limits_{i=1}^{9} \bigwedge\limits_{j=1}^9 \bigvee\limits_{n=1}^9
p(i,j,n) = & (p(1,1,1)\vee p(1,1,2)\vee \ldots\vee p(1,1,9)) &\wedge\\
 & (p(1,2,1)\vee p(1,2,2)\vee \ldots\vee p(1,2,9)) &\wedge\\
 & \ldots &\wedge\\
 & (p(i,j,1)\vee p(i,j,2)\vee \ldots\vee p(i,j,9))&\wedge\\
 & \ldots & \wedge\\
 & (p(9,9,1)\vee p(9,9,2)\vee \ldots\vee p(9,9,9))\\
\end{array}
\end{math}
\newpage
$\bigwedge\limits_{i=1}^{9} \bigwedge\limits_{j=1}^9 \bigvee\limits_{n=1}^9 
p(i,j,n)=$
\begin{eqnarray*}
(p(1,1,1)\vee p(1,1,2)\vee p(1,1,3)\vee p(1,1,4)\vee p(1,1,5)\vee p(1,1,6)\vee p(1,1,7)\vee p(1,1,8)\vee p(1,1,9))\\
\wedge(p(1,2,1)\vee p(1,2,2)\vee p(1,2,3)\vee p(1,2,4)\vee p(1,2,5)\vee p(1,2,6)\vee p(1,2,7)\vee p(1,2,8)\vee p(1,2,9)) \\
\wedge(p(1,3,1)\vee p(1,3,2)\vee p(1,3,3)\vee p(1,3,4)\vee p(1,3,5)\vee p(1,3,6)\vee p(1,3,7)\vee p(1,3,8)\vee p(1,3,9)) \\
\wedge(p(1,4,1)\vee p(1,4,2)\vee p(1,4,3)\vee p(1,4,4)\vee p(1,4,5)\vee p(1,4,6)\vee p(1,4,7)\vee p(1,4,8)\vee p(1,4,9)) \\
\wedge(p(1,5,1)\vee p(1,5,2)\vee p(1,5,3)\vee p(1,5,4)\vee p(1,5,5)\vee p(1,5,6)\vee p(1,5,7)\vee p(1,5,8)\vee p(1,5,9)) \\
\wedge(p(1,6,1)\vee p(1,6,2)\vee p(1,6,3)\vee p(1,6,4)\vee p(1,6,5)\vee p(1,6,6)\vee p(1,6,7)\vee p(1,6,8)\vee p(1,6,9)) \\
\wedge(p(1,7,1)\vee p(1,7,2)\vee p(1,7,3)\vee p(1,7,4)\vee p(1,7,5)\vee p(1,7,6)\vee p(1,7,7)\vee p(1,7,8)\vee p(1,7,9)) \\
\wedge(p(1,8,1)\vee p(1,8,2)\vee p(1,8,3)\vee p(1,8,4)\vee p(1,8,5)\vee p(1,8,6)\vee p(1,8,7)\vee p(1,8,8)\vee p(1,8,9)) \\
\wedge(p(1,9,1)\vee p(1,9,2)\vee p(1,9,3)\vee p(1,9,4)\vee p(1,9,5)\vee p(1,9,6)\vee p(1,9,7)\vee p(1,9,8)\vee p(1,9,9))\\
\wedge(p(2,1,1)\vee p(2,1,2)\vee p(2,1,3)\vee p(2,1,4)\vee p(2,1,5)\vee p(2,1,6)\vee p(2,1,7)\vee p(2,1,8)\vee p(2,1,9))\\
\wedge(p(2,2,1)\vee p(2,2,2)\vee p(2,2,3)\vee p(2,2,4)\vee p(2,2,5)\vee p(2,2,6)\vee p(2,2,7)\vee p(2,2,8)\vee p(2,2,9)) \\
\wedge(p(2,3,1)\vee p(2,3,2)\vee p(2,3,3)\vee p(2,3,4)\vee p(2,3,5)\vee p(2,3,6)\vee p(2,3,7)\vee p(2,3,8)\vee p(2,3,9)) \\
\wedge(p(2,4,1)\vee p(2,4,2)\vee p(2,4,3)\vee p(2,4,4)\vee p(2,4,5)\vee p(2,4,6)\vee p(2,4,7)\vee p(2,4,8)\vee p(2,4,9)) \\
\wedge(p(2,5,1)\vee p(2,5,2)\vee p(2,5,3)\vee p(2,5,4)\vee p(2,5,5)\vee p(2,5,6)\vee p(2,5,7)\vee p(2,5,8)\vee p(2,5,9)) \\
\wedge(p(2,6,1)\vee p(2,6,2)\vee p(2,6,3)\vee p(2,6,4)\vee p(2,6,5)\vee p(2,6,6)\vee p(2,6,7)\vee p(2,6,8)\vee p(2,6,9)) \\
\wedge(p(2,7,1)\vee p(2,7,2)\vee p(2,7,3)\vee p(2,7,4)\vee p(2,7,5)\vee p(2,7,6)\vee p(2,7,7)\vee p(2,7,8)\vee p(2,7,9)) \\
\wedge(p(2,8,1)\vee p(2,8,2)\vee p(2,8,3)\vee p(2,8,4)\vee p(2,8,5)\vee p(2,8,6)\vee p(2,8,7)\vee p(2,8,8)\vee p(2,8,9)) \\
\wedge(p(2,9,1)\vee p(2,9,2)\vee p(2,9,3)\vee p(2,9,4)\vee p(2,9,5)\vee p(2,9,6)\vee p(2,9,7)\vee p(2,9,8)\vee p(2,9,9)) \\
\wedge(p(3,1,1)\vee p(3,1,2)\vee p(3,1,3)\vee p(3,1,4)\vee p(3,1,5)\vee p(3,1,6)\vee p(3,1,7)\vee p(3,1,8)\vee p(3,1,9))\\
\wedge(p(3,2,1)\vee p(3,2,2)\vee p(3,2,3)\vee p(3,2,4)\vee p(3,2,5)\vee p(3,2,6)\vee p(3,2,7)\vee p(3,2,8)\vee p(3,2,9)) \\
\wedge(p(3,3,1)\vee p(3,3,2)\vee p(3,3,3)\vee p(3,3,4)\vee p(3,3,5)\vee p(3,3,6)\vee p(3,3,7)\vee p(3,3,8)\vee p(3,3,9)) \\
\wedge(p(3,4,1)\vee p(3,4,2)\vee p(3,4,3)\vee p(3,4,4)\vee p(3,4,5)\vee p(3,4,6)\vee p(3,4,7)\vee p(3,4,8)\vee p(3,4,9)) \\
\wedge(p(3,5,1)\vee p(3,5,2)\vee p(3,5,3)\vee p(3,5,4)\vee p(3,5,5)\vee p(3,5,6)\vee p(3,5,7)\vee p(3,5,8)\vee p(3,5,9)) \\
\wedge(p(3,6,1)\vee p(3,6,2)\vee p(3,6,3)\vee p(3,6,4)\vee p(3,6,5)\vee p(3,6,6)\vee p(3,6,7)\vee p(3,6,8)\vee p(3,6,9)) \\
\wedge(p(3,7,1)\vee p(3,7,2)\vee p(3,7,3)\vee p(3,7,4)\vee p(3,7,5)\vee p(3,7,6)\vee p(3,7,7)\vee p(3,7,8)\vee p(3,7,9)) \\
\wedge(p(3,8,1)\vee p(3,8,2)\vee p(3,8,3)\vee p(3,8,4)\vee p(3,8,5)\vee p(3,8,6)\vee p(3,8,7)\vee p(3,8,8)\vee p(3,8,9)) \\
\wedge(p(3,9,1)\vee p(3,9,2)\vee p(3,9,3)\vee p(3,9,4)\vee p(3,9,5)\vee p(3,9,6)\vee p(3,9,7)\vee p(3,9,8)\vee p(3,9,9)) \\
\wedge(p(4,1,1)\vee p(4,1,2)\vee p(4,1,3)\vee p(4,1,4)\vee p(4,1,5)\vee p(4,1,6)\vee p(4,1,7)\vee p(4,1,8)\vee p(4,1,9))\\
\wedge(p(4,2,1)\vee p(4,2,2)\vee p(4,2,3)\vee p(4,2,4)\vee p(4,2,5)\vee p(4,2,6)\vee p(4,2,7)\vee p(4,2,8)\vee p(4,2,9)) \\
\wedge(p(4,3,1)\vee p(4,3,2)\vee p(4,3,3)\vee p(4,3,4)\vee p(4,3,5)\vee p(4,3,6)\vee p(4,3,7)\vee p(4,3,8)\vee p(4,3,9)) \\
\wedge(p(4,4,1)\vee p(4,4,2)\vee p(4,4,3)\vee p(4,4,4)\vee p(4,4,5)\vee p(4,4,6)\vee p(4,4,7)\vee p(4,4,8)\vee p(4,4,9)) \\
\wedge(p(4,5,1)\vee p(4,5,2)\vee p(4,5,3)\vee p(4,5,4)\vee p(4,5,5)\vee p(4,5,6)\vee p(4,5,7)\vee p(4,5,8)\vee p(4,5,9)) \\
\wedge(p(4,6,1)\vee p(4,6,2)\vee p(4,6,3)\vee p(4,6,4)\vee p(4,6,5)\vee p(4,6,6)\vee p(4,6,7)\vee p(4,6,8)\vee p(4,6,9)) \\
\wedge(p(4,7,1)\vee p(4,7,2)\vee p(4,7,3)\vee p(4,7,4)\vee p(4,7,5)\vee p(4,7,6)\vee p(4,7,7)\vee p(4,7,8)\vee p(4,7,9)) \\
\wedge(p(4,8,1)\vee p(4,8,2)\vee p(4,8,3)\vee p(4,8,4)\vee p(4,8,5)\vee p(4,8,6)\vee p(4,8,7)\vee p(4,8,8)\vee p(4,8,9)) \\
\wedge(p(4,9,1)\vee p(4,9,2)\vee p(4,9,3)\vee p(4,9,4)\vee p(4,9,5)\vee p(4,9,6)\vee p(4,9,7)\vee p(4,9,8)\vee p(4,9,9)) \\
 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\wedge(p(5,1,1)\vee p(5,1,2)\vee p(5,1,3)\vee p(5,1,4)\vee p(5,1,5)\vee p(5,1,6)\vee p(5,1,7)\vee p(5,1,8)\vee p(5,1,9))\\
\wedge(p(5,2,1)\vee p(5,2,2)\vee p(5,2,3)\vee p(5,2,4)\vee p(5,2,5)\vee p(5,2,6)\vee p(5,2,7)\vee p(5,2,8)\vee p(5,2,9)) \\
\wedge(p(5,3,1)\vee p(5,3,2)\vee p(5,3,3)\vee p(5,3,4)\vee p(5,3,5)\vee p(5,3,6)\vee p(5,3,7)\vee p(5,3,8)\vee p(5,3,9)) \\
\wedge(p(5,4,1)\vee p(5,4,2)\vee p(5,4,3)\vee p(5,4,4)\vee p(5,4,5)\vee p(5,4,6)\vee p(5,4,7)\vee p(5,4,8)\vee p(5,4,9)) \\
\wedge(p(5,5,1)\vee p(5,5,2)\vee p(5,5,3)\vee p(5,5,4)\vee p(5,5,5)\vee p(5,5,6)\vee p(5,5,7)\vee p(5,5,8)\vee p(5,5,9)) \\
\wedge(p(5,6,1)\vee p(5,6,2)\vee p(5,6,3)\vee p(5,6,4)\vee p(5,6,5)\vee p(5,6,6)\vee p(5,6,7)\vee p(5,6,8)\vee p(5,6,9)) \\
\wedge(p(5,7,1)\vee p(5,7,2)\vee p(5,7,3)\vee p(5,7,4)\vee p(5,7,5)\vee p(5,7,6)\vee p(5,7,7)\vee p(5,7,8)\vee p(5,7,9)) \\
\wedge(p(5,8,1)\vee p(5,8,2)\vee p(5,8,3)\vee p(5,8,4)\vee p(5,8,5)\vee p(5,8,6)\vee p(5,8,7)\vee p(5,8,8)\vee p(5,8,9)) \\
\wedge(p(5,9,1)\vee p(5,9,2)\vee p(5,9,3)\vee p(5,9,4)\vee p(5,9,5)\vee p(5,9,6)\vee p(5,9,7)\vee p(5,9,8)\vee p(5,9,9)) \\
\wedge(p(6,1,1)\vee p(6,1,2)\vee p(6,1,3)\vee p(6,1,4)\vee p(6,1,5)\vee p(6,1,6)\vee p(6,1,7)\vee p(6,1,8)\vee p(6,1,9))\\
\wedge(p(6,2,1)\vee p(6,2,2)\vee p(6,2,3)\vee p(6,2,4)\vee p(6,2,5)\vee p(6,2,6)\vee p(6,2,7)\vee p(6,2,8)\vee p(6,2,9)) \\
\wedge(p(6,3,1)\vee p(6,3,2)\vee p(6,3,3)\vee p(6,3,4)\vee p(6,3,5)\vee p(6,3,6)\vee p(6,3,7)\vee p(6,3,8)\vee p(6,3,9)) \\
\wedge(p(6,4,1)\vee p(6,4,2)\vee p(6,4,3)\vee p(6,4,4)\vee p(6,4,5)\vee p(6,4,6)\vee p(6,4,7)\vee p(6,4,8)\vee p(6,4,9)) \\
\wedge(p(6,5,1)\vee p(6,5,2)\vee p(6,5,3)\vee p(6,5,4)\vee p(6,5,5)\vee p(6,5,6)\vee p(6,5,7)\vee p(6,5,8)\vee p(6,5,9)) \\
\wedge(p(6,6,1)\vee p(6,6,2)\vee p(6,6,3)\vee p(6,6,4)\vee p(6,6,5)\vee p(6,6,6)\vee p(6,6,7)\vee p(6,6,8)\vee p(6,6,9)) \\
\wedge(p(6,7,1)\vee p(6,7,2)\vee p(6,7,3)\vee p(6,7,4)\vee p(6,7,5)\vee p(6,7,6)\vee p(6,7,7)\vee p(6,7,8)\vee p(6,7,9)) \\
\wedge(p(6,8,1)\vee p(6,8,2)\vee p(6,8,3)\vee p(6,8,4)\vee p(6,8,5)\vee p(6,8,6)\vee p(6,8,7)\vee p(6,8,8)\vee p(6,8,9)) \\
\wedge(p(6,9,1)\vee p(6,9,2)\vee p(6,9,3)\vee p(6,9,4)\vee p(6,9,5)\vee p(6,9,6)\vee p(6,9,7)\vee p(6,9,8)\vee p(6,9,9)) \\
\wedge(p(7,1,1)\vee p(7,1,2)\vee p(7,1,3)\vee p(7,1,4)\vee p(7,1,5)\vee p(7,1,6)\vee p(7,1,7)\vee p(7,1,8)\vee p(7,1,9))\\
\wedge(p(7,2,1)\vee p(7,2,2)\vee p(7,2,3)\vee p(7,2,4)\vee p(7,2,5)\vee p(7,2,6)\vee p(7,2,7)\vee p(7,2,8)\vee p(7,2,9)) \\
\wedge(p(7,3,1)\vee p(7,3,2)\vee p(7,3,3)\vee p(7,3,4)\vee p(7,3,5)\vee p(7,3,6)\vee p(7,3,7)\vee p(7,3,8)\vee p(7,3,9)) \\
\wedge(p(7,4,1)\vee p(7,4,2)\vee p(7,4,3)\vee p(7,4,4)\vee p(7,4,5)\vee p(7,4,6)\vee p(7,4,7)\vee p(7,4,8)\vee p(7,4,9)) \\
\wedge(p(7,5,1)\vee p(7,5,2)\vee p(7,5,3)\vee p(7,5,4)\vee p(7,5,5)\vee p(7,5,6)\vee p(7,5,7)\vee p(7,5,8)\vee p(7,5,9)) \\
\wedge(p(7,6,1)\vee p(7,6,2)\vee p(7,6,3)\vee p(7,6,4)\vee p(7,6,5)\vee p(7,6,6)\vee p(7,6,7)\vee p(7,6,8)\vee p(7,6,9)) \\
\wedge(p(7,7,1)\vee p(7,7,2)\vee p(7,7,3)\vee p(7,7,4)\vee p(7,7,5)\vee p(7,7,6)\vee p(7,7,7)\vee p(7,7,8)\vee p(7,7,9)) \\
\wedge(p(7,8,1)\vee p(7,8,2)\vee p(7,8,3)\vee p(7,8,4)\vee p(7,8,5)\vee p(7,8,6)\vee p(7,8,7)\vee p(7,8,8)\vee p(7,8,9)) \\
\wedge(p(7,9,1)\vee p(7,9,2)\vee p(7,9,3)\vee p(7,9,4)\vee p(7,9,5)\vee p(7,9,6)\vee p(7,9,7)\vee p(7,9,8)\vee p(7,9,9)) \\
\wedge(p(8,1,1)\vee p(8,1,2)\vee p(8,1,3)\vee p(8,1,4)\vee p(8,1,5)\vee p(8,1,6)\vee p(8,1,7)\vee p(8,1,8)\vee p(8,1,9))\\
\wedge(p(8,2,1)\vee p(8,2,2)\vee p(8,2,3)\vee p(8,2,4)\vee p(8,2,5)\vee p(8,2,6)\vee p(8,2,7)\vee p(8,2,8)\vee p(8,2,9)) \\
\wedge(p(8,3,1)\vee p(8,3,2)\vee p(8,3,3)\vee p(8,3,4)\vee p(8,3,5)\vee p(8,3,6)\vee p(8,3,7)\vee p(8,3,8)\vee p(8,3,9)) \\
\wedge(p(8,4,1)\vee p(8,4,2)\vee p(8,4,3)\vee p(8,4,4)\vee p(8,4,5)\vee p(8,4,6)\vee p(8,4,7)\vee p(8,4,8)\vee p(8,4,9)) \\
\wedge(p(8,5,1)\vee p(8,5,2)\vee p(8,5,3)\vee p(8,5,4)\vee p(8,5,5)\vee p(8,5,6)\vee p(8,5,7)\vee p(8,5,8)\vee p(8,5,9)) \\
\wedge(p(8,6,1)\vee p(8,6,2)\vee p(8,6,3)\vee p(8,6,4)\vee p(8,6,5)\vee p(8,6,6)\vee p(8,6,7)\vee p(8,6,8)\vee p(8,6,9)) \\
\wedge(p(8,7,1)\vee p(8,7,2)\vee p(8,7,3)\vee p(8,7,4)\vee p(8,7,5)\vee p(8,7,6)\vee p(8,7,7)\vee p(8,7,8)\vee p(8,7,9)) \\
\wedge(p(8,8,1)\vee p(8,8,2)\vee p(8,8,3)\vee p(8,8,4)\vee p(8,8,5)\vee p(8,8,6)\vee p(8,8,7)\vee p(8,8,8)\vee p(8,8,9)) \\
\wedge(p(8,9,1)\vee p(8,9,2)\vee p(8,9,3)\vee p(8,9,4)\vee p(8,9,5)\vee p(8,9,6)\vee p(8,9,7)\vee p(8,9,8)\vee p(8,9,9)) \\
 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\wedge(p(9,1,1)\vee p(9,1,2)\vee p(9,1,3)\vee p(9,1,4)\vee p(9,1,5)\vee p(9,1,6)\vee p(9,1,7)\vee p(9,1,8)\vee p(9,1,9))\\
\wedge(p(9,2,1)\vee p(9,2,2)\vee p(9,2,3)\vee p(9,2,4)\vee p(9,2,5)\vee p(9,2,6)\vee p(9,2,7)\vee p(9,2,8)\vee p(9,2,9)) \\
\wedge(p(9,3,1)\vee p(9,3,2)\vee p(9,3,3)\vee p(9,3,4)\vee p(9,3,5)\vee p(9,3,6)\vee p(9,3,7)\vee p(9,3,8)\vee p(9,3,9)) \\
\wedge(p(9,4,1)\vee p(9,4,2)\vee p(9,4,3)\vee p(9,4,4)\vee p(9,4,5)\vee p(9,4,6)\vee p(9,4,7)\vee p(9,4,8)\vee p(9,4,9)) \\
\wedge(p(9,5,1)\vee p(9,5,2)\vee p(9,5,3)\vee p(9,5,4)\vee p(9,5,5)\vee p(9,5,6)\vee p(9,5,7)\vee p(9,5,8)\vee p(9,5,9)) \\
\wedge(p(9,6,1)\vee p(9,6,2)\vee p(9,6,3)\vee p(9,6,4)\vee p(9,6,5)\vee p(9,6,6)\vee p(9,6,7)\vee p(9,6,8)\vee p(9,6,9)) \\
\wedge(p(9,7,1)\vee p(9,7,2)\vee p(9,7,3)\vee p(9,7,4)\vee p(9,7,5)\vee p(9,7,6)\vee p(9,7,7)\vee p(9,7,8)\vee p(9,7,9)) \\
\wedge(p(9,8,1)\vee p(9,8,2)\vee p(9,8,3)\vee p(9,8,4)\vee p(9,8,5)\vee p(9,8,6)\vee p(9,8,7)\vee p(9,8,8)\vee p(9,8,9)) \\
\wedge(p(9,9,1)\vee p(9,9,2)\vee p(9,9,3)\vee p(9,9,4)\vee p(9,9,5)\vee p(9,9,6)\vee p(9,9,7)\vee p(9,9,8)\vee p(9,9,9)) \\
 \end{eqnarray*}
  


 
\end{document}

